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Jul 29, 2023

Derivadas del tiempo a través de guías de ondas interconectadas

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 13126 (2023) Cite este artículo 5013 Accesos 3 Detalles de Altmetric Metrics La computación analógica basada en ondas electromagnéticas se ha convertido en una informática interesante

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 13126 (2023) Citar este artículo

5013 Accesos

3 altmétrico

Detalles de métricas

La computación analógica basada en ondas electromagnéticas se ha convertido en un paradigma informático interesante que demuestra el potencial de operaciones paralelas, de bajo consumo y de alto rendimiento. En este trabajo, proponemos una técnica para el cálculo de derivadas de señales temporales mediante la explotación de técnicas de líneas de transmisión. Consideramos múltiples guías de ondas interconectadas (algunas de ellas son terminales cerrados) que forman uniones. Luego, el coeficiente de transmisión de la estructura propuesta se adapta controlando la longitud y el número de trozos en la unión, de modo que la operación de diferenciación se aplique directamente sobre la envolvente de una señal incidente modulada sinusoidalmente en el dominio del tiempo. Se explica en detalle la física detrás de la estructura propuesta y se presenta una descripción teórica completa de esta operación, demostrando cómo se puede utilizar esta técnica para calcular derivadas temporales de orden superior o incluso fraccionarias. Prevemos que estos resultados pueden permitir el desarrollo de más procesadores analógicos basados ​​en ondas en el dominio del tiempo mediante la explotación de uniones de guías de ondas, abriendo nuevas oportunidades para operadores y sistemas únicos basados ​​en ondas.

En los últimos años ha surgido la necesidad de nuevos paradigmas informáticos inspirados principalmente por una dificultad cada vez mayor para mantener la tasa histórica de aceleración computacional descrita por la ley de Moore1,2. En este contexto, la computación analógica que explota señales electromagnéticas (EM) es un ejemplo de paradigmas tan prometedores. Esto se debe a su potencial para la computación de alta velocidad (ondas EM que se propagan a la velocidad de la luz dentro del material donde viajan las ondas) y al paralelismo inherente asociado con las técnicas de computación EM3,4,5 (donde se puede diseñar una única estructura para calcular múltiples procesos informáticos explotando, por ejemplo, diferente polarización incidente, frecuencia o ángulo de la señal incidente6,7,8,9). Un ejemplo notable de computación analógica, y probablemente uno de los trabajos fundadores en este campo, fue el analizador diferencial del que Hartree informó por primera vez en 193510. Un dispositivo de este tipo era capaz de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales mediante la rotación de engranajes diferenciales, produciendo una solución de salida continua (es decir, un dispositivo informático mecánico). En el contexto de las ondas EM, los procesadores analógicos están diseñados para adaptar este principio y, en cambio, calcular la solución de las ecuaciones aplicando un operador matemático directamente sobre un frente de onda EM en el dominio espacial o temporal11.

En este ámbito, recientemente se han informado diferentes ejemplos de estructuras informáticas basadas en ondas EM, como redes ópticas capaces de realizar operaciones informáticas como inversión de matrices12,13,14,15, conmutación de pulsos electromagnéticos transversales (TEM) con redes de guías de ondas16,17, 18,19 y computación analógica con multicapas dieléctricas11,20. Además, la introducción de metamateriales21,22, medios artificiales que pueden exhibir un control excepcional sobre las ondas en el espacio y el tiempo23,24,25,26,27,28,29,30,31, ha llevado al concepto de "metamateriales computacionales" por primera vez. introducido en 2014 por Silva et al.11. Desde entonces, se han propuesto y demostrado ejemplos notables de metamateriales para computación para realizar operaciones como diferenciación y convolución7,32,33,34,35,36,37, así como para calcular soluciones de operaciones más complejas como ecuaciones diferenciales ordinarias. y ecuaciones integrales6,34,38. En la computación analógica para el procesamiento de señales, el cálculo de derivadas es una tarea especialmente importante ya que permite la detección de bordes, un primer paso importante en cualquier tarea de reconocimiento de imágenes/señales32. Se ha informado que diferentes procesadores analógicos basados ​​en ondas EM realizan diferenciación de primer orden, tanto en el dominio del espacio como del tiempo, con ejemplos que incluyen estructuras diseñadas adaptando la distribución de permitividad o los espectros de reflexión/transmisión de un bloque/metasuperficie de metamaterial9,32,33,34. 38,39. En la práctica, esto a menudo requiere el ajuste fino de varios parámetros de diseño, como las longitudes de las capas dieléctricas en una estructura multicapa o la permitividad de un píxel en una cuadrícula 2D9,11,20. Para lograr este objetivo, recientemente se han aplicado y demostrado varias técnicas de diseño, como rejillas de fibra40,41, interferómetros Mach-Zehnder42, optimización avanzada y diseño inverso43,44 y también enfoques de aprendizaje automático20,45,46.

Inspirándonos en la importancia de las derivadas para la computación (y en particular para la computación analógica utilizando ondas EM) en este trabajo proponemos y estudiamos un dispositivo simple capaz de calcular derivadas temporales. La estructura está cuidadosamente diseñada aprovechando guías de ondas de placas paralelas interconectadas y trozos como líneas de transmisión (TL). La física detrás del diseño propuesto se presenta en detalle y la estructura se evalúa tanto teórica como numéricamente utilizando el software comercial CST Studio Suite®, demostrando una excelente concordancia entre ellos. Como se mostrará, la estructura basada en ondas EM propuesta para el cálculo de derivadas temporales se puede ajustar y optimizar simplemente modulando uno de sus parámetros (como la longitud de las guías de ondas) y se puede diseñar para funcionar en transmisión o modo reflexión, permitiendo total flexibilidad en su diseño. Como ejemplos, la estructura propuesta se implementa para calcular la derivada temporal de diferentes señales de entrada, como señales gaussianas moduladas sinusoidalmente (frecuencia de modulación de 8 GHz) e incluso funciones temporales arbitrarias. Estos hallazgos pueden conducir al desarrollo de otros procesadores de señales analógicas basados ​​en redes de guías de onda capaces de realizar operaciones matemáticas y computacionales en el dominio del tiempo. Prevemos que dichos dispositivos puedan tener aplicaciones en escenarios informáticos donde las operaciones se aplican a conjuntos de datos grandes o continuos, como el reconocimiento de audio e imágenes, y este último funciona en frecuencias que van desde la acústica y las microondas hasta el régimen óptico.

Para empezar, analicemos primero los aspectos clave que involucran el funcionamiento de un diferenciador analógico, como se ilustra en la Fig. 1A. Aquí, un procesador hipotético (bloque gris) realiza la operación de diferenciación en la envolvente de una señal incidente (aplicada desde la izquierda) y devuelve su solución a su salida (lado derecho). Como se sabe, la diferenciación en una señal en el dominio del tiempo \(g(t)\) se representa en el dominio de la frecuencia como una multiplicación entre el espectro de la señal de entrada \(G\left(f\right)=\mathcal{F} \left\{g(t)\right\}\) (con \(\mathcal{F}\) representando la transformada de Fourier, y \(f\) como la frecuencia en Hz) por un factor \(2\pi if\)20,32, que representa la función de transferencia del diferenciador. En este manuscrito, todas las funciones calculadas para \(G(f)\) a partir de una señal temporal \(g(t)\) están normalizadas para estar acotadas en el rango 0–1; es decir, \({G}_{norm}\left(f\right)=G(f)/\mathrm{max}[G(f)]\) (esto se debe a la implementación de materiales pasivos en nuestros diseños ). Ahora, para señales moduladas por una frecuencia portadora \({f}_{0}\), el factor \(2\pi if\) (función de transferencia) simplemente se desplaza a \(2\pi i(f-{f }_{0})\)47, como se observa en el conjunto de la Fig. 1A. A partir de esto, queda claro que si uno quiere que una estructura hipotética pueda realizar una diferenciación temporal, su función de transferencia debería poder emular \(2\pi i(f-{f}_{0})\). Es importante destacar que la función de transferencia ideal de un diferenciador [\(2\pi i(f-{f}_{0})\)] puede producir valores mayores que uno. Nuevamente, como utilizamos materiales totalmente pasivos, la magnitud de la función de transferencia debe estar acotada entre 0 y 147. Para tener en cuenta esto, la función de transferencia ideal \(2\pi i(f-{f}_{0) })\) también está normalizado para estar acotado dentro de 0–1, de modo que la señal de salida en el dominio de la frecuencia de las estructuras diseñadas tendrá el mismo rango de valores que la derivada ideal/teórica normalizada, y solo diferirá de los valores verdaderos en un factor de normalización11,20,38. Con esta normalización, un dispositivo hipotético funcionará como un diferenciador de primer orden si su función de transferencia se asemeja a una caída lineal y simétrica en forma de V centrada alrededor de \({f}_{0}\) (como se describió anteriormente y se muestra en la Fig. 1A). ).

Diferenciador analógico en el dominio del tiempo. (A) Diagrama de bloques de un diferenciador analógico que realiza un diferenciador de primer orden en el frente de onda de una señal temporal incidente. (B) Representación esquemática de un diferenciador temporal diseñado utilizando tres terminales cerrados conectados a guías de ondas de entrada y salida. Las guías de ondas son placas paralelas y están conectadas en una configuración paralela. (C) Magnitud (izquierda) y fase (derecha) del coeficiente de transmisión correspondiente a la función de transferencia de un diferenciador temporal que utiliza diferente número de terminales (de 1 a 5) conectados a una guía de ondas de entrada y salida. Aquí consideramos que todas las guías de ondas tienen dimensiones \(h=w=0.0267{\lambda }_{0}.\) (D) Representación esquemática de las configuraciones estudiadas en el panel (C) considerando diferente número de terminales cerrados conectados a la unión de la guía de ondas. (E,F) Resultados numéricos en el dominio del tiempo del diferenciador presentado en (B) usando tres guías de onda (longitud \({L}_{s}=0.5237{\lambda }_{0})\) terminales conectados cuando se excitan usando un Gaussiano no modulado (panel superior en E) y modulado (8 GHz, panel superior en F) respectivamente. Los resultados numéricos de las señales de salida se muestran en los paneles inferiores de (E,F) (líneas azules) junto con los valores teóricos de la derivada temporal de la envolvente de la señal incidente (línea roja discontinua).

Ahora, para diseñar una estructura que pueda emular la forma de V de la función de transferencia requerida en el dominio de la frecuencia, se pueden explotar técnicas TL (como el diseño de filtros) para adaptar la función de transferencia a voluntad. Con base en esto, en este trabajo explotamos un conjunto de placas paralelas conectadas a un par (entrada y salida) de guías de ondas en una unión central de guías de ondas como se muestra esquemáticamente en la Fig. 1B. Como en nuestros trabajos anteriores16,18,19, consideramos dos tipos de unión de guías de ondas con guías de ondas de placas paralelas conectadas en configuración en serie o en paralelo. Los detalles completos de la división y superposición de señales en estas uniones se pueden encontrar en 16,18,19; aquí presentamos los conceptos básicos para que estén completos. Cuando la impedancia característica de cada guía de ondas es la misma y la sección transversal de la unión es pequeña en comparación con la longitud de onda incidente48, la división de la señal incidente después de pasar la unión se describirá mediante las siguientes matrices de dispersión:

donde \(\gamma = 2/N\) es el coeficiente de transmisión de la unión, \(N\) el número de guías de ondas conectadas, \({\varvec{I}}\) y \({\varvec{J} }\) son las matrices identidad y todos unos, respectivamente. En este manuscrito, nos centraremos en el uso de uniones paralelas; sin embargo, el mismo enfoque también podría explotarse utilizando guías de ondas interconectadas en una configuración en serie (como se analiza en la sección S2 de materiales complementarios).

Como se muestra en la Fig. 1B, utilizamos una guía de ondas de entrada (izquierda) y de salida (derecha) que interconectan una red de terminales. Con esta configuración, la señal incidente proveniente de la guía de ondas izquierda se dividirá después de pasar la unión, creando señales que viajan hacia todas las guías de ondas interconectadas. El propósito de las guías de ondas es luego alimentar estas “copias” (señales dispersas que viajan a través de ellas) nuevamente a la unión con un pequeño retraso temporal (en comparación con la duración temporal de la señal incidente, como se discutirá más adelante) que puede ser controlado por la longitud de las guías de onda cortas (\(\Delta t= 2L\sqrt{{\varepsilon }_{r}{\mu }_{r}}/c\), con εr y μr como la permitividad relativa y permeabilidad del material de relleno de la guía de ondas, y \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío), como se esperaba. En este caso se utiliza vacío como material de relleno (εr = μr = 1).

Inicialmente consideramos un par de terminales cerrados (terminados con un conductor eléctrico perfecto, PEC) conectados a la guía de ondas de entrada y salida en una unión paralela, de modo que hay un total de cuatro guías de onda conectadas en la unión. De la ecuación. 1a, la matriz de dispersión de esta unión está dada por \(-{\varvec{I}}+\) (\(1/2){\varvec{J}},\) con \(\gamma =2/4 \) es decir, \(N=4\). Según estos valores, cuando una señal incidente llega a la unión desde la guía de ondas de entrada (izquierda), se dividirá en cuatro señales de igual magnitud (una que viaja a lo largo de cada una de las guías de ondas) que se propagarán lejos de la unión. Específicamente, si una señal incidente \({x}_{in}\left(t\right)\) tiene una amplitud de \({x}_{in}\), de la ecuación. 1a, una porción de esta señal, con una amplitud \({x}_{in}/2\) se transmitirá a la guía de ondas de salida, una copia (también con amplitud \({x}_{in}/2\) )) se transferirá a cada uno de los terminales y se excitará una señal reflejada con amplitud \(-{x}_{in}/2\) a lo largo de la guía de ondas de entrada; A este proceso lo llamamos “primera división”. Ahora, cuando las señales que viajan dentro de los terminales llegan a los extremos terminados en metal, se reflejarán con polaridad invertida debido al límite PEC47. Estas señales reflejadas viajarán dentro de los stubs y llegarán de regreso al cruce (después de un retraso \(\Delta t\) debido al tiempo de viaje dentro de los stubs, como se describió anteriormente) donde una vez más se dividirán en cuatro señales como descrito por la ecuación. 1a (a esto lo llamamos la “segunda división”). La superposición de todas las señales después de la segunda interacción (segunda división) en la unión de la guía de ondas cancelará las señales hacia los terminales con extremos metálicos16,17,19,47 y dejará solo dos señales propagándose lejos de la unión (una a lo largo de la entrada y otra a lo largo de la entrada). uno a lo largo de las guías de onda de salida, respectivamente) ambos con una amplitud de \(-{x}_{in}/2\), siendo retrasados ​​por un factor \(\Delta t\), como se explicó anteriormente. En otras palabras, las señales que viajan hacia las guías de ondas de entrada y salida después de ser reflejadas desde los terminales se dispersan en la unión y se definen como \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/ 2\). Curiosamente, como la señal incidente \({x}_{in}\left(t\right)\) todavía se aplica desde la entrada (guía de onda izquierda), cuando se produce la segunda división \({x}_{in} \left(t\right)\) también se dividirá y creará nuevamente cuatro ondas después de pasar la unión (similar a la primera división como se describe arriba). Por lo tanto, a medida que se repite el proceso de división, dos nuevas señales viajarán a lo largo de las guías de onda de entrada/salida lejos de la unión debido a la división de \({x}_{in}\left(t\right)\) (con un amplitud de \(-{x}_{in}/2\) y \({x}_{in}/2\), respectivamente) que luego interactuarán con las señales retardadas creadas en la segunda división [provenientes del trozos con extremos metálicos \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/2\))]. Por lo tanto, se puede aplicar nuevamente el principio de superposición para mostrar que las señales que viajan a lo largo de la salida [\({y}_{out}\left(t\right)\), derecha] y la entrada [\({y}_ Las guías de ondas {in}\left(t\right)\), left], respectivamente, son la suma de todas las señales producidas debido a la división de las nuevas \({x}_{in}\left(t\right) \) y aquellas señales retardadas creadas por la segunda división, matemáticamente descritas de la siguiente manera:

Curiosamente, la ecuación. 2a de hecho se parece a la conocida ecuación en diferencias finitas de primer orden49:

donde está claro cómo la ecuación de salida [\({y}_{out}\left(t\right)\)] de la ecuación. 2a es similar a la ecuación. 3, que solo difieren en una constante. Debido a esto, tenga en cuenta que para valores pequeños de \(\Delta t\) (tales que la variación en la envolvente dentro de un rango temporal \(\Delta t\) alrededor de \(t\) puede aproximarse mediante un Taylor de primer orden series49), la señal de salida observada se ajustará a la forma de la primera derivada en el dominio del tiempo. Además, como función de transferencia (dominio de frecuencia) de la operación diferenciadora de la ecuación. 3 tiene una forma de V lineal (como se explicó anteriormente), la función de transferencia de la red de guía de ondas de la Ec. 2a también tendrá una forma de V lineal cerca de la frecuencia de modulación de la señal incidente. Es importante señalar que la descripción anterior se ha centrado en la "amplitud" de las señales. Sin embargo, esta técnica es general y de hecho puede aplicarse a señales moduladas incidentes (como se mostrará a continuación). En este caso, sin embargo, un factor clave es la variable de retardo de tiempo \(\Delta t\), ya que debe diseñarse de manera que garantice que las señales dispersadas por la unión después de la segunda división sean \(180^\). circ\) fuera de fase (es decir, \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/2\), como se explicó anteriormente) con la señal transferida a la guía de ondas de salida debido a la división (nueva primera división) del nuevo entrante, es decir, \([{x}_{in}\left(t\right)/2]\) (como se describe en la ecuación 2a). Por ejemplo, para guías de ondas de placas paralelas llenas de aire, esta condición se cumple cuando la longitud \({L}_{s}\) del trozo cerrado (con extremos metálicos) es \({L}_{s}={ L}_{cerrado}= {\lambda }_{0}/2\) (con \({\lambda }_{0}\) como la longitud de onda de la frecuencia de modulación de la señal incidente). Tenga en cuenta que esto también se podría hacer usando guías de ondas abiertas donde la condición se cumplirá cuando \({L}_{s}={L}_{open} = {\lambda }_{0}/4\)47 ,50.

En la sección anterior, consideramos cuatro guías de ondas interconectadas (una entrada, una salida y dos terminales). También es posible ajustar la función de transferencia en forma de V requerida para satisfacer las necesidades de tareas específicas, como controlar el ancho de banda del operador de diferenciación que está siendo emulado por la red de guías de ondas. Con este fin, la función de transferencia (por ejemplo, el coeficiente de transmisión/reflexión) de una unión de N guías de ondas se puede parametrizar mediante \(M=N-2\) terminales conectados en la unión considerando la longitud de cada terminal individual, \( {L}_{sj}\), donde \(j\) representa los números parciales (de uno a \(M\)) y \({\Gamma }_{j,\pm 1}\) el coeficiente de reflexión de los trozos individuales (nuevamente \(j\) significa el número de trozo, y \(\pm 1\) denota un trozo con extremo cerrado, \(-1\), o abierto, \(+1\) , respectivamente)47. En la sección de materiales complementarios S1 se puede encontrar una derivación matemática completa de los coeficientes de transmisión y reflexión para una combinación arbitraria de parámetros. En el caso simplificado donde todos los stubs son idénticos (\({L}_{sj}={L}_{s}, {\Gamma }_{j,\pm 1}=\Gamma\)) la función de transferencia puede ser escrito como

Usando la ecuación. 4, la función de transferencia (magnitud y fase del coeficiente de transmisión en nuestro caso) para uno a cinco trozos cerrados idénticos de longitud \({\lambda }_{0}/2\) se presenta en la Fig. 1C junto con el esquema representaciones en la Fig. 1D para que estén completas. Como se muestra, la magnitud de la función de transferencia para todos los diseños es aproximadamente lineal (forma de V) cerca de la frecuencia normalizada \(f/{f}_{0}\), una característica requerida si se quiere emular un operador de diferenciación como se detalla en la sección anterior. Este rendimiento también se puede confirmar observando la discontinuidad de fase51 del panel derecho de la Fig. 1C que ocurre en \(f/{f}_{0}\). Ahora, como se muestra en la Fig. 1C, al variar el número de terminales conectados en la unión, el ancho espectral de la región lineal alrededor de \({f}_{0}\) se maximizó cuando se implementaron tres terminales.

Para evaluar más a fondo el diferenciador propuesto utilizando técnicas TL, llevamos a cabo estudios numéricos utilizando el solucionador de dominio del tiempo del software comercial CST Studio Suite® donde se realizaron simulaciones de onda completa de la estructura que se muestra en la Fig. 1B (es decir, tres trozos cerrados interconectados como los mejores resultados de la función de transferencia de la Fig. 1C). Se pueden encontrar más detalles sobre la configuración de la simulación en la sección de métodos a continuación. Consideramos una señal de entrada gaussiana, tanto no modulada como modulada a 8 GHz, como se muestra en los paneles superiores de la Fig. 1E, F, respectivamente. En ambos casos, la desviación estándar de la señal gaussiana en el dominio del tiempo fue σ = \(0,50\) ns. Los resultados numéricos se compararon con la derivada calculada analíticamente de la envolvente de la señal incidente (función gaussiana no modulada) y los resultados se muestran en los paneles inferiores de la Fig. 1E, F. Como se observa, se obtiene una excelente concordancia entre los resultados analíticos y numéricos, demostrando cómo, a medida que la red de guías de onda diseñada emula la función de transferencia del operador diferenciador en el dominio de la frecuencia para una derivada en el dominio del tiempo (función de transferencia en forma de V) , se puede utilizar para calcular la derivada temporal de la envolvente de señales temporales incidentes. Como se detalló anteriormente, aquí centramos nuestros esfuerzos en trozos cerrados; en la sección de materiales complementarios S2 se muestran ejemplos de trozos abiertos, uniones en serie y combinaciones de ellos para que estén completos.

Las funciones de transferencia que se muestran en la Fig. 1 se calcularon utilizando la teoría TL asumiendo la división perfecta de las señales incidentes en la unión de la guía de ondas48,52. Esta división perfecta, como se muestra en la ecuación. 1, también considera que la sección transversal de todas las guías de ondas es infinitamente pequeña o lo suficientemente pequeña como para permitir despreciar los campos marginales que aparecen en la unión. En la Fig. 2A se presenta una representación esquemática de este comportamiento de división perfecta, donde una señal incidente se dispersa igualmente entre todas las guías de ondas conectadas siguiendo la ecuación. 1a. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, esta es una aproximación que solo es válida para secciones transversales pequeñas en comparación con el tamaño de la longitud de onda incidente48. Por tanto, es importante estudiar el impacto de la dispersión no ideal en el rendimiento del diferenciador.

Efectos de la dispersión imperfecta sobre el desempeño del diferenciador temporal. (A) esquema de división perfecta (en el límite \(a<<{\lambda }_{0}\)) emulada por la radiación de un dipolo. (B) División no perfecta asociada con el tamaño distinto de cero de la sección transversal de la unión (izquierda) y la posible asimetría angular de las uniones (derecha). (C,D) resultados numéricos que muestran el impacto de los casos mostrados en (B) respectivamente. Consideramos un diferenciador temporal diseñado con dos terminales terminados en PEC y un tamaño de sección transversal de guías de onda \(w=h=a=0.0267{\lambda }_{0}\) (\({\lambda }_{0}\) como la longitud de onda en el espacio libre a la frecuencia de 8 GHz). (C) (panel izquierdo) Magnitudes numéricas (negras) y teóricas (rojas) del coeficiente de transmisión para un diferenciador de dos trozos con \({L}_{s}=0.5{\lambda }_{0}\). Estos resultados muestran el efecto del tamaño de unión distinto de cero en la división perfecta ideal. (Segundo panel) Cambio de frecuencia calculado entre los mínimos numéricos y teóricos del coeficiente de transmisión (negro) a lo largo de la amplitud del mínimo numérico en función del parámetro de escala de unión \(a\). (Tercer panel) Magnitud del cambio de frecuencia (entre los mínimos numéricos y teóricos) en función de la frecuencia objetivo y la longitud agregada \(\Delta L\) normalizada con respecto al parámetro de escala \(a\) (\( \Delta L/a\)) del cruce. (Panel derecho) Repetición de la simulación presentada en el panel izquierdo pero ahora con \(\Delta L\) = \(0.85a=0.0227{\lambda }_{0}\). (D) (panel izquierdo) resultados numéricos (negro, verde y azul) que muestran la magnitud del coeficiente de transmisión cuando el ángulo entre dos terminales es \(0^\circ ,25^\circ\) y \(45^\ circ\), respectivamente, considerando trozos con \({L}_{s}=0.5237{\lambda }_{0}\). Los valores teóricos (discontinuos rojos) para \({L}_{s}=0.5{\lambda }_{0}\) (es decir, sin longitud agregada ya que el coeficiente de transmisión teórico no varía con el ángulo entre los cabos) también son trazado. (D) (segundo panel) RMSE entre los coeficientes de transmisión ideales numéricos y normalizados (en forma de V lineal) para estructuras con ángulos entre trozos que van desde \(-60^\circ\) hasta \(60^\circ\). (D) (tercer panel) magnitud del coeficiente de transmisión para un ángulo entre muñones de \(25^\circ\) como se presenta en el panel izquierdo cuando la longitud del muñón girado aumenta de 0,2 a 0,6 mm. Para mayor integridad se muestra el espectro del caso teórico/ideal (discontinuo rojo). (D) (panel derecho) la longitud adicional calculada del trozo necesaria para minimizar el RMSE entre los coeficientes de transmisión numéricos e ideales para ángulos del trozo que van desde \(-60^\circ\) a \(60^\circ\).

Aquí, se pueden identificar dos fuentes principales de rendimiento no ideal: la primera surge del área de sección transversal finita de las guías de ondas, lo que conduce a un tamaño de unión distinto de cero. Cualitativamente, esto permite que las señales incidentes tomen un camino más corto a través de la unión hasta las guías de ondas adyacentes, en comparación con el modelo de división ideal (que considera un tamaño de unión cero ideal). Este concepto se demuestra en el panel izquierdo de la Fig. 2B, donde una señal incidente de la guía de ondas izquierda puede recorrer el camino rojo reducido en lugar del camino verde ideal considerado en los cálculos teóricos. Este rendimiento se traducirá en una reducción de la longitud efectiva del trozo de guía de ondas conectado a la unión, lo que dará como resultado un cambio de la función de transferencia del dispositivo como se ve en el panel más a la izquierda de la Fig. 2C. En este panel se muestra la magnitud del coeficiente de transmisión considerando un diseño con dos stubs utilizando los cálculos teóricos de la Ec. 4 (línea discontinua roja) y las simulaciones numéricas utilizando guías de ondas tridimensionales con \(w =h\) = \(a=\) 1 mm (\(0.0267{\lambda }_{0}\)). Aquí el parámetro \(a\) se utilizará como parámetro de escala que tiene en cuenta un cambio en la sección transversal de las guías de ondas. El desplazamiento de frecuencia, representado por la relación entre la frecuencia numérica y teórica donde el coeficiente de transmisión es casi cero (\({f}_{0}\)), en función de la dimensión \(a\) de las guías de ondas es se muestra en el segundo panel de la misma Fig. 2C, confirmando que en el límite cuando \(a<<{\lambda }_{0}\) el desplazamiento de frecuencia del mínimo del espectro calculado numéricamente (\({f} _{min}\)) es insignificante (con respecto a la frecuencia del mínimo teórico \({f}_{0}\) es decir, \({f}_{min}\approx {f}_{0}\ )). Sin embargo, se puede compensar el efecto del tamaño de unión distinto de cero aumentando la longitud de los cabos. Para hacer esto, el aumento de longitud elegido debe coincidir con la reducción total en la longitud del camino producida por el tamaño de unión distinto de cero, como se describió anteriormente. Esto se demuestra en el tercer panel de la Fig. 2C donde el cambio en la frecuencia en la que ocurrió el mínimo en el coeficiente de transmisión \(|\Delta f|=|({f}_{min,num}-{f}_ {min,theo})|\) (siendo \({f}_{min,num}\) y \({f}_{min,theo}\) la frecuencia en la que se produjo el coeficiente de transmisión mínimo en el simulación numérica y cálculos teóricos, respectivamente) se presenta para un rango de frecuencias objetivo y longitudes agregadas \(\Delta L\) (normalizado con respecto al parámetro de escala \(a\), \(\Delta L/a\)) . En este estudio, la frecuencia objetivo se refiere a la frecuencia a la que aparece el mínimo teórico de la forma de V de la función de transferencia, suponiendo una división perfecta y sin longitud agregada a los trozos; en otras palabras, la frecuencia objetivo es la frecuencia de modulación de la señal incidente \({f}_{0}\)). La línea discontinua blanca que se muestra en este panel representa la cantidad de longitud agregada normalizada que minimiza el cambio de frecuencia. Por ejemplo, el cambio de frecuencia en el diferenciador con una frecuencia objetivo de \({f}_{0} = 8\) GHz y dos trozos con dimensiones como las del ejemplo de la Fig. 2C, panel más a la izquierda (\(a=w =h=\) \(0.0267{\lambda }_{0}\)) se minimizó mediante un aumento de la longitud del trozo de \(\Delta L=0.0227{\lambda }_{0}\). El coeficiente de transmisión de esta estructura después de sumar la longitud \(\Delta L\) se muestra en el panel más a la derecha de la Fig. 2C donde se observa cómo las simulaciones numéricas con la guía de ondas realista ahora concuerdan con los cálculos teóricos utilizando la Técnica TL.

La segunda razón para la división no ideal se debe a la asimetría espacial efectiva entre los terminales conectados en la unión de la guía de ondas. Por ejemplo, además del tamaño de la unión, el camino reducido a través de la unión también variará con el ángulo en el que la guía de ondas está conectada a la unión, como se muestra esquemáticamente en el panel derecho de la Fig. 2B. Como se observa, cuando se conectan múltiples terminales a una única unión, la asimetría entre los ángulos de los terminales conectados puede producir diferentes longitudes de camino a través de la unión hasta los terminales conectados individuales. Esto producirá un desajuste de fase entre las señales reflejadas en la unión desde los diferentes ramales. El efecto de esto sobre la función de transferencia del dispositivo (coeficiente de transmisión en nuestro caso) se puede estudiar observando los resultados que se muestran en el panel más a la izquierda de la Fig. 2D, donde la magnitud del coeficiente de transmisión se muestra como el ángulo entre dos trozos. conectado en una unión de guía de 4 ondas (como en la Fig. 2B) varía de \(\theta =0^\circ\) (escenario ideal) a \(\theta =25^\circ\) o \(\theta = 45^\circ\), como ejemplos. Aquí consideramos un diseño con guías de ondas y terminales de \(a=w=h=1\) mm (\(0.0267{\lambda }_{0}\)) con una longitud \({L}_{s}\) de \(0.5237{\lambda }_{0}\) (para \({\lambda }_{0}=37.5\) mm, nuevamente para una frecuencia \({f}_{0}\) de \( 8\) GHz) medido desde el centro de la unión de la guía de ondas hasta el extremo de los terminales con terminación metálica. Como puede verse, a medida que \(\theta\) aumenta, el coeficiente de transmisión lineal en forma de V se distorsiona debido al desajuste de fase entre las señales de los dos ramales. Para cuantificar esta distorsión, calculamos el error cuadrático medio (RMSE) entre los resultados numéricos del coeficiente de transmisión para varios ángulos cortos (que van desde \(-60^\circ\) hasta \(60^\circ\) con un paso de \(5^\circ\)) y una función de transferencia lineal ideal en forma de V centrada en f0 \(({T}_{ideal}=C|f-{f}_{0}|)\) donde \({T}_{ideal}\) es el coeficiente de transmisión de la función ideal y \(C\) es su constante de escala correspondiente después de haber sido normalizada para estar limitada entre 0 y 1 dentro del rango de frecuencia deseado. Los valores RMSE calculados se muestran en el segundo panel de la Fig. 2D. A partir de estos resultados, la distorsión inducida por el desajuste de fase debido a los diferentes ángulos de los terminales es simétrica alrededor de 0° y la distorsión aumenta al aumentar \(\theta\), como se esperaba. Desde la perspectiva de la longitud del camino, esta simetría se puede entender considerando la primera y segunda división de la señal en el cruce: cuando se produce la primera división, la señal incidente observará un trozo girado con un ángulo de \(90^\circ +\theta\) (ángulo entre las guías de onda de entrada y de enlace). Para la segunda división (después de que la señal haya sido reflejada por el extremo metálico del trozo), la señal que viaja hacia la unión verá un ángulo de \(90^\circ -\theta\) (entre el trozo y las guías de ondas de salida/entrada ). Debido a esto, la distorsión en el coeficiente de transmisión será simétrica alrededor de \(\theta =0^\circ\) ya que la diferencia de trayectoria combinada de la primera y segunda división será la misma para los ángulos positivos y negativos (solo cambiando el orden en el que se observan las diferencias de trayectoria). Esta distorsión (aquí medida usando el RMSE como se discutió anteriormente y se muestra en la Fig. 2C) en el coeficiente de transmisión también se puede superar aumentando la longitud del trozo girado para compensar la reducción en la longitud de su trayectoria. Un ejemplo se muestra en el tercer panel de la Fig. 2D donde se observa cómo se obtienen los resultados numéricos del coeficiente de transmisión para un par de \(a=w=h=1\) mm (\(0.0267{\lambda }_{ 0}\)) trozos con uno de ellos girado con una diferencia de ángulo \(20^\circ\) se ve afectado por la longitud agregada. Teniendo esto en cuenta, se agrega una longitud de compensación al extremo del muñón girado hasta que se minimice la distorsión calculada. Para el caso \(25^\circ\), esto ocurrió usando una longitud extra de \(\Delta L= 0.6\) mm \((0.0160{\lambda }_{0})\) con una frecuencia objetivo de \ (8\)GHz. Para completar, el \(\Delta L\) requerido para minimizar la distorsión del coeficiente de transmisión en función del ángulo de rotación de uno de los muñones se muestra en el cuarto panel de la Fig. 2D. Como se observó, no se requirió \(\Delta L\) en el rango de \(-15^\circ\) a \(15^\circ\), lo que significa que los errores experimentales/de fabricación serán insignificantes siempre que la rotación El ángulo del trozo de guía de ondas fabricado no excede estos valores.

Para estudiar más a fondo el rendimiento de las estructuras propuestas para la diferenciación temporal, se llevaron a cabo simulaciones numéricas de onda completa utilizando el solucionador de dominio del tiempo del software comercial CST Studio Suite®. En la sección del método se presenta una descripción completa de la configuración de la simulación. Se modeló un diferenciador temporal de primer orden utilizando dos trozos cerrados idénticos con los mismos parámetros que los utilizados en la Fig. 2D, con todas las guías de ondas teniendo una sección transversal con dimensiones \(w=h=\) \(1\) mm (\(0.0267{\lambda }_{0},\) con nuevamente \({\lambda }_{0}\) como la longitud de onda en el espacio libre a 8 GHz) y lleno de vacío (\({\ varepsilon }_{r}=1, {\mu }_{r}=1\)). En esta sección, se evalúa el desempeño del diferenciador trabajando tanto en configuraciones de transmisión como de reflexión. Según la teoría TL, se espera que los coeficientes de transmisión y reflexión de la estructura diseñada de 4 guías de onda sean complementarios (siempre que las pérdidas sean insignificantes47). En base a esto, mientras que el espectro en forma de V del coeficiente de transmisión/reflexión tendrá su mínimo en diferentes frecuencias, el ancho de la región espectral lineal en el coeficiente de transmisión y reflexión será el mismo (ver recuadros de las Fig. 3A,C). , respectivamente). Como en el panel de la derecha de la Fig. 2C, se eligió que la longitud de los dos trozos fuera \({L}_{s}=19.637\) mm (\(0.5237{\lambda }_{0}\) ), para producir una caída en forma de V de la función de transferencia a \(8\) GHz o \(4\) GHz cuando se trabaja en modo de transmisión o reflexión, respectivamente (ver Fig. 3A,C, respectivamente). A partir de este diseño, se esperará que cuando se aplique una señal temporal incidente desde la guía de ondas de entrada con una frecuencia de modulación de \(8\) GHz, la señal diferenciada en el dominio del tiempo se observará en la guía de ondas de salida mientras que la señal temporal diferenciada se observará en la guía de ondas de salida. La señal aparecerá en la guía de ondas incidente (señal reflejada) cuando la frecuencia modulada sea \(4\) GHz (consulte la función de transferencia correspondiente de cada configuración de transmisión/reflexión como recuadros en la Fig. 3A,C).

Resultados numéricos de primer orden. Resultados numéricos de un diferenciador de primer orden con dos trozos terminados metálicos de longitud \(0.5237{\lambda }_{0}\) hechos de guías de ondas con sección transversal \(w=h=0.0267{\lambda }_{0}\ ) (\({\lambda }_{0}=37,5\) mm, \({f}_{0}=8\) GHz). (A) Resultados numéricos de la distribución del campo eléctrico en el espacio y el tiempo para nuestro diferenciador de primer orden propuesto considerando un incidente gaussiano modulado a 8 GHz (desviación estándar \(\sigma =0.5\) ns). Estos resultados se calculan a lo largo del eje de propagación de toda la estructura en \(x=y=0\). (B) Resultados de la simulación en el dominio del tiempo del escenario presentado en (A) calculados en los extremos de las guías de onda de entrada y salida (\(z= \pm 500\) mm \(=13.3{\lambda }_{0}\) ). La señal de entrada en el dominio del tiempo se muestra en el panel izquierdo como una línea negra, junto con los resultados numéricos del voltaje registrado (panel central) calculado al final de la guía de ondas de salida (\(z=500\) mm \( = 13,3{\lambda }_{0}\)) y la derivada teórica de la envolvente en el dominio del tiempo (línea azul y roja discontinua respectivamente). El contenido de frecuencia de las señales incidentes y de salida se muestra en el panel derecho para que esté completo. (C,D) igual que los paneles (A,B) considerando la misma estructura pero trabajando en configuración de reflexión. Aquí utilizamos una señal gaussiana incidente modulada a 4 GHz (la misma desviación estándar que B). Los resultados numéricos de las señales reflejadas tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia se representan como líneas verdes en (D). (E) Señal de entrada arbitraria no modulada que representa el puente Tyne (línea roja), un punto de referencia local de Newcastle Upon Tyne en el Reino Unido. (F) Resultados numéricos (línea azul) y teóricos (línea roja discontinua) del voltaje de salida en función del tiempo para el escenario de (E).

Para verificar esto, se utilizaron los resultados numéricos de una señal temporal incidente que tiene una envolvente gaussiana (\(\sigma =0.5\) ns con un voltaje máximo de \(1\) V) modulada a \(8\) GHz y \(4\) \) GHz se muestran en las Fig. 3A – D (consulte la señal incidente en el panel izquierdo de las Fig. 3B, D). Para excitar la estructura, se utiliza un puerto de guía de ondas en la guía de ondas de entrada (llamado puerto \(1\)) y los resultados en modo de transmisión se registran utilizando un segundo puerto al final de la guía de ondas de salida (puerto \(2\)) . Con esta configuración, el voltaje registrado en el dominio del tiempo en el puerto \(2\) se muestra en el panel central de la Fig. 3B (línea azul) junto con la derivada temporal teóricamente calculada de la envolvente de la señal incidente (línea roja discontinua) . Finalmente, los espectros de frecuencia para resultados numéricos y teóricos también se muestran en el panel derecho de la misma Fig. 3B. Como se observa, se obtiene una excelente concordancia tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Para completar, los resultados numéricos de la propagación espacio-temporal de la señal incidente se muestran en la Fig. 3A (calculada en \(x = y = 0\) a lo largo del eje \(z\)) que corrobora cómo se corresponde la señal transmitida a la derivada temporal de la señal incidente. De manera similar, los resultados de la estructura que funciona en reflexión se muestran en la Fig. 3C, D donde las señales incidentes y reflejadas en el dominio del tiempo se muestran en los paneles izquierdo y central de la Fig. 3D junto con el contenido espectral de la señal reflejada en panel derecho de la misma figura. Al comparar los resultados numéricos y teóricos en modo de reflexión, se puede notar una excelente concordancia entre ellos. Sin embargo, observe cómo el espectro de los resultados numéricos (línea verde del panel derecho de la Fig. 3D) no es simétrico y las frecuencias más altas tienen amplitudes más pequeñas. Como se analizó en la sección anterior y se muestra en la Fig. 2C, debido al valor distinto de cero de las secciones transversales de la guía de ondas, la longitud de los terminales debe ajustarse para que la división perfecta en la unión ocurra en la frecuencia objetivo requerida. Siguiendo este enfoque, la estructura estudiada en la Fig. 3 está sintonizada para operar a 8 GHz en transmisión (con una longitud adicional de los terminales de \(0.0237{\lambda }_{0}\)). Por lo tanto, se espera obtener una ligera desviación de frecuencia para el mínimo teórico de la forma de V del coeficiente de reflexión, ya que ocurre a una frecuencia diferente (teóricamente a 4 GHz). En el caso que se muestra en la Fig. 3C, D, la frecuencia central del coeficiente de reflexión en la simulación es 3,904 GHz, que se desvía ligeramente de 4 GHz, como se esperaba, produciendo un coeficiente de reflexión asimétrico como se muestra en la Fig. 3D. El diagrama espacio-tiempo se muestra en la Fig. 3C cuando se trabaja en reflexión, lo que demuestra cómo la señal reflejada aún corresponde a la derivada temporal.

Para completar y demostrar que la estructura diseñada puede funcionar con diferentes señales de incidente, también se implementó una señal de incidente arbitraria. Aquí, la señal incidente se definió convirtiendo el perfil de un punto de referencia de Newcastle Upon Tyne, el Puente Tyne, en una señal en el dominio del tiempo, como se muestra en la Fig. 3E. La señal resultante después de pasar a través de la estructura propuesta se muestra en la Fig. 3F. Al comparar la salida numérica y la derivada teórica encontrada mediante el método de diferencias finitas, se puede ver cómo el diferenciador temporal propuesto también puede identificar con éxito la ubicación de los bordes en la estructura del puente (indicados por los picos en la derivada). como calcular el valor de la pendiente a lo largo del arco del puente. Estos resultados demuestran cómo la estructura propuesta se puede utilizar para la detección de bordes de señales temporales.

Como se demostró en las secciones anteriores, la diferenciación de primer orden se puede realizar mediante un bloque individual que emule esta operación utilizando, en nuestro caso, TL interconectados (ver Figs. 1A, B, 2,3). Se puede lograr una diferenciación de orden superior, por ejemplo, conectando en cascada múltiples diferenciadores de primer orden de manera que la operación de primer orden se realice en el frente de onda incidente varias veces en serie. En otras palabras, la función de transferencia ideal de un diferenciador de \(m\)ésimo orden se puede encontrar multiplicando la función de transferencia de primer orden m veces, es decir, se puede representar matemáticamente definiendo una función de transferencia, de la siguiente manera:

Curiosamente, esta función de transferencia también es válida para derivadas fraccionarias dado que el orden \(m\) de la derivada puede ser un valor no entero53. En el dominio del tiempo, estas derivadas fraccionarias se pueden encontrar utilizando, por ejemplo, la ecuación de Riemann-Liouville54.

donde Γ es la función gamma55 (una función comúnmente utilizada para extender factoriales a números complejos56), \(\lceil m\rceil\) denota redondear \(m\) hacia arriba al siguiente entero, \(t\) es la variable que la función \(f(t)\) se está derivando con respecto a, \(x\) es una variable sustituta utilizada para calcular la integral y \(b\) es el punto base del sistema que describe la no localidad de derivados no enteros57.

Para llevar a cabo esta operación utilizando las uniones de guía de ondas propuestas, aquí presentamos una estructura general para diferenciadores de \(m\)ésimo orden como se muestra esquemáticamente en la Fig. 4A. Consiste en múltiples “capas” de diferenciadores de primer orden en cascada que se conectan mediante guías de ondas de placas paralelas como TL. El número, la longitud y la naturaleza abierta/cerrada de los trozos se pueden definir individualmente para cada bloque diferenciador, lo que significa que no es necesario que cada diferenciador sea el mismo que sus bloques adyacentes. También se puede definir la longitud entre cada diferenciador, lo que permite un mayor grado de control sobre el espectro de la función de transferencia de la estructura completa. Tenga en cuenta que dicho control es particularmente importante cuando se consideran bloques interconectados de TL, ya que es necesario considerar múltiples reflexiones entre bloques y, de hecho, se pueden ajustar a voluntad explotando todos los diferentes parámetros dentro de la estructura completa. En este contexto, como se conoce en el diseño de filtros, conectar capas entre sí mediante un TL de longitud \({\lambda }_{0}/4\) aumentará el "orden" del diferenciador, aumentando el ancho de banda del filtro. (un ancho de banda aumentado del mínimo en el coeficiente de transmisión en nuestro caso47,58). Esto puede entenderse como la multiplicación de los coeficientes de transmisión de las capas individuales en la región alrededor de \({f}_{0}\). Como la diferenciación se realiza alrededor de un mínimo en el coeficiente de transmisión, cuando se consideran TL sin pérdidas, la mayor parte de una señal incidente será reflejada por el diferenciador. En base a esto, al conectar en cascada múltiples diferenciadores, el alto coeficiente de reflexión de cada diferenciador individual producirá una gran onda estacionaria entre las capas. Luego se elige una distancia de \({\lambda }_{0}/4\) para conectar las diferentes capas (operadores diferenciales) para garantizar que los reflejos entre capas interfieran destructivamente entre sí y no afecten la salida del siguiente diferenciador. Por lo tanto, al utilizar la teoría TL, elegir la longitud de la guía de ondas que conecta los diferenciadores como un múltiplo entero impar de \({\lambda }_{0}/4\) preservará la simetría del coeficiente de transmisión alrededor de la frecuencia de modulación \({ f}_{0}\) (un requisito de simetría debido a la naturaleza de la Ec. 5 alrededor de \({f}_{0}\)). En la sección de materiales complementarios S3 se incluye un estudio en profundidad de la respuesta del diferenciador de orden m cuando la longitud de las guías de onda que conectan los diferenciadores está completo59.

Derivadas arbitrarias de orden m. (A) (Panel superior) Esquema del enfoque propuesto que muestra diferenciadores en cascada. El número de trozos, su longitud (\({L}_{s}\)), su naturaleza abierta/cerrada y la longitud de las guías de ondas utilizadas para conectar dos uniones de guías de ondas (\({L}_{c}\) ) se puede controlar para adaptar la función de transferencia deseada. (Panel inferior) Diagrama de bloques de dos diferenciadores interconectados. Las entradas (flechas rojas) y las salidas (flechas verdes) de los diferenciadores individuales se presentan junto con las reflexiones producidas entre los dos bloques de diferenciación (flechas amarillas). (B,C) Ejemplo de un diferenciador de segundo orden hecho a partir de dos uniones interconectadas. (B) Representación TL (izquierda) junto con la magnitud ideal/teórica (rojo) y calculada numéricamente (negro) del coeficiente de transmisión (panel derecho). Las guías de ondas tienen una sección transversal de \(w=h=0.0267{\lambda }_{0}\) y dimensiones \({L}_{s1}={L}_{s2}={L}_{ s3}=0.7596{\lambda }_{0}\) (C) Simulación en el dominio del tiempo de una señal incidente gaussiana de frecuencia central de \(8\) GHz (desviación estándar \(\sigma =0.46\) ns) en el dominio del tiempo (arriba a la izquierda) y su espectro correspondiente (abajo a la izquierda) junto con los valores numéricos (azul) y teóricos (rojo discontinuo) en el dominio del tiempo (arriba a la derecha) y el dominio de la frecuencia (abajo a la derecha). (D,E) Lo mismo que los paneles (B,C) pero para un diseño que realice un diferenciador fraccionario de orden \(m = 0.717\). Aquí, la señal incidente tiene una duración de tiempo diferente (desviación estándar \(\sigma =0.3536\) ns) para ajustarse a su espectro dentro del rango de frecuencia de trabajo de \(0.25{f}_{0}\). Las guías de onda cortas tienen dimensiones \({L}_{s1}={L}_{s3}=0.758{\lambda }_{0}, {L}_{s2}=0.505{\lambda }_{0} \).

Como se analizó anteriormente, se espera que las reflexiones entre capas en cascada sean grandes, por lo que no se pueden utilizar aproximaciones como la teoría de las reflexiones pequeñas47. En su lugar, utilizamos el método del producto estrella de Redheffer59,60 para calcular las funciones de transferencia de las estructuras en cascada. Este método es una alternativa al método de matriz de transferencia (TMM)61 comúnmente utilizado, que permite explotar la simetría de la matriz de dispersión para una mayor eficiencia computacional. Este método se puede explicar brevemente de la siguiente manera:

Considere un par de matrices de dispersión \({{\varvec{S}}}^{1}\) y \({{\varvec{S}}}^{2}\) conectadas entre sí de manera que la salida de una matriz alimenta la entrada del otro, y viceversa (ver representación esquemática en el panel inferior de la Fig. 4A). Matemáticamente, esto se puede expresar de la siguiente manera:

donde los términos \({S}_{oi}^{1}\) y \({S}_{oi}^{2}\) son los coeficientes de dispersión de la primera y segunda dispersión (según lo etiquetado por los números superíndice), respectivamente, \(o\) y \(i\) representan las guías de onda de salida y entrada con las que se relaciona el coeficiente de dispersión, respectivamente. Los términos \(y\) y \(x\) son la salida y las entradas de cada dispersor, respectivamente. El subíndice numerado indica a qué dispersor corresponde la entrada (\(1\) significa el primero y \(2\) significa el segundo dispersor, respectivamente), mientras que los subíndices \(L\) y \(R\) representan dónde está la salida. Se toma /entrada (izquierda y derecha de la unión de la guía de ondas, respectivamente). En base a esto, una matriz de dispersión combinada \({{\varvec{S}}}^{3}\) se puede escribir como

donde los términos \({S}_{oi}^{3}\) son los coeficientes de dispersión de la estructura general, definidos como:

En general, los términos \({S}_{oi}^{3}\) en las Ecs. 7 a 9 se pueden escribir como matrices que representan la dispersión entre múltiples puertos en una red; sin embargo, esto no es necesario para nuestra implementación ya que consideramos dispersores con solo dos puertos (una entrada, una salida). Como tal, los términos calculados \({S}_{oi}^{3}\) representan los coeficientes de transmisión y reflexión para una señal desde la entrada \(i\) hacia la salida \(o\) de la estructura (es decir, \ ({S}_{21}^{3}\) y \({S}_{11}^{3}\) es el coeficiente de transmisión y reflexión de la estructura completa que es el resultado de la combinación de dos factores de dispersión. matrices juntas, respectivamente, al aplicar la señal incidente desde la izquierda). Tenga en cuenta que en esta configuración, el efecto de la longitud de conexión se absorbe en uno de los dispersores (por ejemplo, \({{\varvec{S}}}^{1}\)) agregando un cambio de fase a los coeficientes de transmisión y reflexión. desde la guía de ondas de conexión (es decir, \({S}_{21}^{1}\to {S}_{21}^{1}{e}^{-i\varphi }, {S}_{22} ^{1}\to {S}_{22}^{1}{e}^{-2i\varphi }\), donde \(\varphi =\omega {L}_{c}\sqrt{{\ varepsilon }_{r}{\mu }_{r}}/c\) es la longitud eléctrica de la conexión), \(\omega\) es la frecuencia angular de la señal y \({L}_{c} \) es la longitud de la guía de ondas que conecta las dos capas. Además, debido a la naturaleza recíproca de los diferenciadores propuestos (capa individual y estructura de orden general \({m}^{th}\)), se espera que \({S}_{11}^{3}={ S}_{22}^{3}\) y \({S}_{12}^{3}={S}_{21}^{3}\), por lo tanto, solo se necesitan dos cálculos para combinar capas. Finalmente, el producto estrella de Redheffer es la operación que combina las matrices de la ecuación. 7a en la matriz de la ecuación. 8 usando las relaciones en la ecuación. 9. Esto se puede escribir como62

donde “\(\star\)” representa el producto estrella. A partir de esto, la matriz de dispersión del sistema en cascada se encuentra combinando repetidamente las matrices de dispersión de uniones adyacentes hasta que todas las uniones se hayan encapsulado en una matriz de dispersión combinada. Los coeficientes de transmisión y reflexión se encuentran luego tomando los términos \({S}_{21}^{3}\) y \({S}_{11}^{3}\) de la matriz de dispersión combinada, respectivamente. .

Con este método recorremos varios diseños posibles, evaluando en cada etapa la calidad del diferenciador calculando el RMSE entre las funciones de transferencia calculadas e ideales. Luego, se modeló y simuló el diseño que mejor se adaptaba a la función de transferencia deseada en CST Studio Suite® para evaluar su rendimiento en un software de simulación de onda completa. Para probar la flexibilidad de este método, diseñamos y evaluamos dos dispositivos más. El primero, que se muestra en el panel izquierdo de la Fig. 4B, fue diseñado para realizar una diferenciación de segundo orden. Esto requiere una función de transferencia cuadrática similar a \([2\pi i(f-{f}_{0}){]}^{2}\) como \(m = 2\) en la ecuación. 5. Las funciones de transferencia ideal y numérica (coeficiente de transmisión) se pueden encontrar en el panel derecho de la Fig. 4B. Se encontró que el rango de frecuencia de trabajo (aquí definido como el rango espectral alrededor de \({f}_{0}\) antes de que la función de transferencia numérica se desvíe del espectro ideal en \(10\%\)) es \(0.4{ f}_ {0}\). Para evaluar la estructura diseñada, se utilizó como señal de excitación una señal gaussiana en el dominio del tiempo modulada a 8 GHz (ver Fig. 4C). La desviación estándar de esta señal es \(\sigma =0,3536\) ns, elegida de manera que el espectro de la señal incidente caiga dentro del rango de frecuencia de trabajo del diferenciador. Los resultados numéricos de la señal en el dominio del tiempo calculada a la salida de la estructura se muestran en la Fig. 4C (línea azul) junto con la derivada teórica de la envolvente (línea discontinua roja) corroborando cómo es posible calcular la derivada de segundo orden con la estructura diseñada. Como se puede observar en la Fig. 4C, existen pequeñas variaciones entre la derivada calculada y la ideal. Esto se explica por la pequeña discrepancia entre las funciones de transferencia numérica e ideal en frecuencias más alejadas de \({f}_{0}\) como se ve en la Fig. 3C. Este es un resultado esperado ya que la optimización sopesó las diferencias entre el coeficiente de transmisión numérico ideal y superior en la región alrededor de \({f}_{0}\) al calcular el RMSE.

Para completar y demostrar que el orden de la derivada temporal no necesariamente tiene que ser un número entero, también se diseñó una estructura con la capacidad de realizar la derivada fraccionaria de orden \(m=0.717\) (elegida al azar). El diseño y el coeficiente de transmisión de esta estructura se muestran en la Fig. 4D. Se encontró que el rango de frecuencia de trabajo alrededor de \({f}_{0}\) en el que el coeficiente de transmisión se parecía a la curva ideal para el orden correspondiente \(m=0.717\) era aproximadamente \(0.25{f}_{0). }\) (calculado como se describe arriba). Esto se puede ver en el panel derecho de la Fig. 4D donde el coeficiente de transmisión calculado numéricamente (gráfico negro) concuerda con la función de transferencia ideal (línea roja) dentro de una determinada región de frecuencia alrededor de \({f}_{0}\) pero diverge en frecuencias mayores y menores. Como antes, una simulación en el dominio del tiempo con un incidente modulado (\(8\) GHz) gaussiano (\(\sigma =0.4632\) ns, de modo que su espectro caiga dentro del rango de frecuencia de trabajo, \({f}_{ 0}\pm 0.25{f}_{0})\) para evaluar el desempeño del diferenciador temporal fraccionario. Los resultados numéricos del voltaje de salida calculado (gráfico azul) en los dominios de tiempo y frecuencia se presentan en la Fig. 4E, donde está claro cómo, en comparación con el valor teórico (gráfico rojo), la señal de salida representa la derivada temporal fraccionaria de la señal temporal incidente. Como muestran estos resultados, la envolvente de la señal de salida en el dominio del tiempo tiene dos "lóbulos" que son asimétricos alrededor de la depresión central (es decir, los lóbulos tienen diferentes amplitudes y duración temporal), en comparación con el caso de diferenciación de primer orden presentado en la Fig. 3. Esta señal temporal asimétrica es una característica esperada de las derivadas fraccionarias con \(0

En resumen, se ha propuesto un método para realizar una diferenciación analógica en la envolvente de señales temporales incidentes aprovechando la división y superposición de ondas TEM dentro de uniones de guías de ondas de placas paralelas. Para hacer esto, se utilizaron terminales cerrados conectados en dichas uniones para adaptar el coeficiente de transmisión de la estructura propuesta para que se parezca al operador de diferenciación de orden \({m\mathrm{th}}\) en el dominio de la frecuencia. Se ha presentado una descripción matemática completa de la división y superposición de señales dentro de estas estructuras en términos del enfoque de matriz de dispersión. Se han demostrado numéricamente diferentes diseños, como el cálculo de la diferenciación temporal de primer orden (m = 1) y fraccional (m = 0,717) de una envolvente gaussiana temporal modulada sinusoidalmente (frecuencia de modulación \(8\) GHz). Ejemplos adicionales incluyeron envolventes de formas arbitrarias y el uso de la técnica en modo de reflexión y transmisión, entre otros estudios. Se encontró una buena concordancia entre todos los resultados presentados y sus correspondientes cálculos analíticos. Prevemos que este trabajo pueda permitir el desarrollo de más dispositivos informáticos analógicos basados ​​en ondas en el dominio del tiempo que abran nuevas direcciones para la informática de alta velocidad.

Las simulaciones numéricas mostradas en las Figs. 1C, 2, 4B,D se realizaron utilizando el solucionador de dominio de frecuencia del software comercial CST Studio Suite® mientras que los resultados de las Figs. 1E,F, 2, 4C,E con el solucionador en el dominio del tiempo. Guías de ondas de placas paralelas (condiciones de contorno PEC superior e inferior) con una sección transversal (\(w=h=1\) mm \(= {0.0267\lambda }_{0}\), donde \({\lambda }_{ 0}=37,5\) mm) cuando se implemente, a menos que se indique lo contrario en el texto principal. Se utilizó vacío (\({\varepsilon }_{r}=1,{\mu }_{r}=1\)) como material de relleno de la guía de ondas y como medio de fondo de la simulación. Se utilizaron puertos de guía de ondas para excitar/extraer las señales de entrada/salida. Estos puertos se colocaron en los extremos de las guías de onda de entrada/salida, teniendo estas últimas una longitud de \(25\) mm \((0.667{\lambda }_{0})\) desde los puertos hasta la posición de la unión. . Para los resultados que se muestran en la Fig. 3A,C, esta separación fue de \(500\) mm = \({13.3\lambda }_{0}\) para observar mejor las ondas que se propagan en los diagramas de espacio-tiempo. Las condiciones de límite se establecieron para abrir (agregar espacio) en los ejes \(x\) y \(y\) y para abrir en la dimensión \(z\) para agregar espacio de fondo después de la estructura y evitar reflejos indeseables, respectivamente. Las señales gaussianas en las simulaciones en el dominio del tiempo se definieron siguiendo las ecuaciones \(G\left(t\right)= {e}^{-(t-4{)}^{2}/2{\sigma }^{2} }\mathrm{sin}(2\pi {f}_{0}t)\), donde \({f}_{0}\) es la frecuencia de modulación, \(\sigma\) es el estándar en el dominio del tiempo desviación y \(t\) es el tiempo.

Los datos que respaldan los hallazgos de este estudio están disponibles en el artículo y sus materiales complementarios. El autor correspondiente puede obtener más datos específicos que respaldan los hallazgos de este estudio previa solicitud razonable.

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Descargar referencias

V.PP. y AY desea agradecer el apoyo de Leverhulme Trust en el marco del programa de subvenciones para proyectos de investigación de Leverhulme Trust (RPG-2020-316). Vicepresidente-P. También agradece el apoyo de la Universidad de Newcastle (Beca de investigación de la Universidad de Newcastle). V.PP. y RGM desea agradecer el apoyo del Consejo de Investigación en Ingeniería y Ciencias Físicas (EPSRC) en el marco del esquema EPSRC DTP PhD (EP/T517914/1).

Escuela de Matemáticas, Estadística y Física, Universidad de Newcastle, Newcastle Upon Tyne, NE1 7RU, Reino Unido

Ross Glyn MacDonald y Victor Pacheco-Rock

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Ross Glyn MacDonald y Alex Yakovlev

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Todos los autores contribuyeron de igual forma en este trabajo.

Correspondencia a Víctor Pacheco-Peña.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Glyn MacDonald, R., Yakovlev, A. & Pacheco-Peña, V. Derivadas del tiempo mediante guías de ondas interconectadas. Informe científico 13, 13126 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40046-3

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Recibido: 14 de julio de 2023

Aceptado: 03 de agosto de 2023

Publicado: 12 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40046-3

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