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May 28, 2023

Dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de curvas de tuberías según la expansión en modo normal

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 12488 (2022) Citar este artículo 820 Accesos Detalles métricos La dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de codos de tuberías se estudia mediante métodos normales.

Scientific Reports volumen 12, número de artículo: 12488 (2022) Citar este artículo

820 Accesos

Detalles de métricas

La dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de codos de tuberías se estudia mediante expansión en modo normal. Primero, se deriva la relación de biortogonalidad para los modos normales en curvas de tuberías, en base a la cual los campos de desplazamiento y tensión en las interfaces entre las partes rectas y curvas se expanden con los modos normales en ambas partes. Luego, basándose en el principio de continuidad del campo de tensiones y desplazamientos, el problema de dispersión se considera un problema propio de una matriz de transferencia, cuya solución proporciona las conversiones de modo en las interfaces. Se presenta un estudio de caso del modo longitudinal de baja frecuencia incidente en una curva de tubería, y se encuentra que las conversiones de modo dominantes son la reflexión L(0,1) y la conversión de modo de L(0,1) a F(1, 1). También se realizan simulaciones y experimentos con elementos finitos. Se observan claramente la reflexión de curvatura L (0,1) y el modo convertido F (1,1), lo que concuerda bien con las predicciones teóricas.

Debido a que es altamente eficiente y puede detectar zonas que de otro modo serían inaccesibles, la tecnología de onda guiada1,2,3 se usa ampliamente para inspeccionar tuberías. Sin embargo, en la práctica las tuberías siempre tienen múltiples curvaturas que interfieren con la propagación de la onda guiada incidente y, por lo tanto, complican significativamente las señales de prueba e incluso las hacen imposibles de interpretar. Por lo tanto, la mecánica de dispersión de las ondas guiadas que se propagan a través de codos de tubería es esencial al inspeccionar tuberías complicadas.

Debido al eje curvo de una curva de tubería, el movimiento ondulatorio en ella es mucho más complejo y debe investigarse numéricamente más que analíticamente. Demma et al.4 derivaron por primera vez las curvas de dispersión y las estructuras modales de ondas guiadas en codos de tuberías con el método de análisis modal5 en un software comercial de elementos finitos, pero la relación de dispersión sólo se puede calcular a frecuencias discretas. Hayashi et al.6 calcularon por primera vez las curvas de dispersión de ondas guiadas en codos de tubería utilizando el método semianalítico de elementos finitos (SAFE)6,7,8,9,10, que requiere que solo se discretice la sección transversal de la tubería. convirtiendo así un problema tridimensional (3D) en uno bidimensional (2D) y ahorrando así tiempo de cálculo y memoria. Se introduce un sistema de coordenadas cilíndrico curvo para la región de la tubería curva, bajo el cual se deriva la ecuación que rige el movimiento ondulatorio en las curvas de la tubería y luego se resuelve con el método SAFE. Ese método también se aplica a los cálculos de dispersión de estructuras helicoidales8 y estructuras con secciones transversales constantes, como rieles9 y tubos cuadrados10.

En comparación con las curvas de dispersión de ondas guiadas en tuberías rectas, las de curvas de tuberías exhiben varias características distintas, como frecuencias de corte para los modos fundamentales [L(0,1) y T(0,1)], división de modos11, modo de repulsión9 y enfoque natural12. Demma et al.11 estudiaron la característica de división de modos y dieron la explicación de que los modos originalmente idénticos en tuberías rectas se dividen en dos modos diferentes debido a la pérdida de ejesimetría en las curvas de las tuberías. La repulsión de modo también se ha observado en las curvas de dispersión de placas curvas13,14, guías de ondas helicoidales8 y rieles9, entre otros. Loveday et al.9 estudiaron el modo de repulsión de ondas guiadas en rieles, tras lo cual Wu et al.15 estudiaron lo mismo en curvas de tuberías. Se encuentra que el modo de repulsión ocurre cuando la segunda derivada de la frecuencia con respecto al número de onda se acerca al infinito a medida que las dos curvas se acercan entre sí. También se encuentra que la repulsión de modos ocurre sólo entre modos del mismo tipo (por ejemplo, modos simétricos o antisimétricos) y no entre modos de diferentes tipos (por ejemplo, modos simétricos y antisimétricos).

Aunque las características de propagación de las ondas guiadas en codos de tuberías son bien conocidas, la mecánica de dispersión correspondiente sigue siendo menos conocida. La mayoría de los estudios de la mecánica de la dispersión se basan en simulaciones numéricas16,17,18,19,20 y experimentos21,22,23,24,25. Mediante simulación 3D de elementos finitos, Aristegui et al.16 simularon el modo L(0,2) viajando a través de curvas de tubería y observaron conversiones de modo de L(0,2) a F(1,3) y F(2, 3). Demma et al.11 estudiaron la dispersión del modo torsional T(0,1) y descubrieron que es más probable que se convierta a F(1,2). Basándose en la definición de representaciones paramétricas ortogonales de tubos curvos que preservan el tiempo de viaje, Brath et al.12 modelan la propagación de ondas guiadas y la dispersión en una curva con enfoques bidimensionales. Qi et al.17 y Heinlein et al.18 investigaron la reflexión del modo T(0,1) a partir de defectos circunferenciales y axiales en curvaturas de tuberías, respectivamente. Además del método de elementos finitos, también se emplean otros métodos numéricos: Rudd et al.19 utilizaron la integración finita elastodinámica para simular ondas guiadas en curvaturas de tuberías, y Zhou et al.20 utilizaron el método de elementos finitos de ondas para estudiar la dispersión. Mecánica de codos de tuberías.

En cuanto a los estudios experimentales, Nishino21 utilizó un sistema láser para generar y detectar ondas guiadas en una tubería de acero inoxidable, y se observaron conversiones de modo en curvas de tuberías. También utilizando un sistema láser, Kim et al.22 evaluaron defectos de adelgazamiento de paredes en codos de tuberías. Verma et al.23 generaron el modo L(0,2) con transductores magnetoestrictivos e investigaron cómo el ángulo de curvatura y los radios afectaban los coeficientes de reflexión y transmisión. De manera similar, Wu et al.24,25 utilizaron un sistema magnetoestrictivo para estudiar la dispersión de los modos L(0,1) y T(0,1) al pasar a través de codos de tubería. Brath et al.26 mapearon experimentalmente los codos de las tuberías con un método de tomografía de onda guiada basado en un modelo de avance rápido.

Basado en una relación biortogonal, el método de expansión en modo normal (NME) expresa el movimiento de las ondas en una guía de ondas con modos de ondas guiadas ortogonales, lo que facilita el análisis de la respuesta a la fuerza. Ditri et al.27 derivaron por primera vez la relación biortogonal en cilindros huecos basándose en el teorema de reciprocidad28, seguido de un análisis de excitación de modo generalizado de tuberías con tracción superficial aplicada. Más específicamente, Ditri et al.29 analizaron el modo de excitación de transductores de tipo cuña y peine. Utilizando el mismo método NME, Zhang et al.30 analizaron la respuesta de fuerza de cilindros huecos elásticos con respecto a la carga magnetoestrictiva. Ma et al.31 estudiaron la excitación de ondas guiadas de torsión en tuberías mediante cargas de corte invertidas. Bakkali et al.32 estudiaron la dispersión en la unión entre tuberías rectas y curvas basándose en la relación biortogonal que simplemente se extiende a partir de la relación biortogonal en las placas. Recientemente, Zhang et al.33 utilizaron el método NME para estudiar problemas de ondas guiadas forzadas en zonas de carga y descubrieron que la solución NME clásica no satisface la ley de Hooke dentro de la zona de carga. Para abordar esta deficiencia, Zhang et al.34 propusieron un método NME modificado.

Aquí, el método NME se utiliza para estudiar la mecánica de dispersión de ondas guiadas en curvas de tuberías. En la sección “Modelado SEGURO del movimiento ondulatorio en codos de tuberías”, se presenta brevemente el modelado SEGURO del movimiento ondulatorio en codos de tuberías, luego la relación biortogonal de los modos normales en codos de tuberías se deriva en “Relación de biortogonalidad para modos normales en Sección de codos de tubería”. Con base en esa relación, se presenta un estudio teórico de la mecánica de dispersión en la sección "Estudio teórico de la dispersión de ondas guiadas en curvas de tuberías". Para ilustrar aún más el estudio de dispersión teórica, en la sección "Estudio de caso" se presenta un estudio de caso de un incidente en modo longitudinal de baja frecuencia en una curva de tubería de radio pequeño. Finalmente, en las secciones “Simulaciones numéricas” y “Validación experimental”, se informan simulaciones numéricas y experimentos, respectivamente, para validar las predicciones teóricas.

Como se muestra en la Fig. 1, se introduce un sistema de coordenadas cuasi cilíndrico6 para modelar el cilindro hueco curvado, donde el eje z recto en coordenadas cilíndricas se reemplaza por un eje z' curvo a lo largo de la curvatura de la curvatura. Por tanto, un punto arbitrario (x, y, z) en coordenadas cartesianas se puede expresar en coordenadas cuasicilíndricas (r, θ, z′) como

donde R es el radio de curvatura.

Sistema de coordenadas cuasicilíndrico6.

En coordenadas cuasicilíndricas, las relaciones tensión-desplazamiento se reescriben como6

donde \({\mathbf{u}} = \left[ {u_{r} ,u_{\theta } ,u_{z^{\prime}} } \right]^{T}\) es el vector de desplazamiento, \({{\varvec{\upsigma}}} = \left[ {\sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{z^{\prime}r} ,\sigma_{r\theta } } \right]^{T}\) es el vector de tensión,

\({\mathbf{D}}\) es la ecuación constitutiva, que se define como

donde λ es la relación de Poisson y µ es el módulo de elasticidad de corte.

Se supone que las ondas guiadas se propagan a lo largo del eje curvo, por lo tanto, el desplazamiento u en una curva de tubería toma la forma

donde k es el número de onda, \(\omega\) es la frecuencia angular y \({\mathbf{U}}\left( {r,\theta } \right)\) es el desplazamiento interpolado en la sección transversal de la guía de ondas. Debido a que se supone que el movimiento ondulatorio en la dirección z′ es armónico, se requiere una discretización de elementos finitos solo sobre la sección transversal del codo de la tubería, con el movimiento ondulatorio armónico en la dirección z′ incluido analíticamente. Debido a que solo se discretiza la sección transversal y no un volumen, convirtiendo así un problema 3D en uno 2D, este método disminuye significativamente el número de nodos y, por lo tanto, ahorra tiempo de cálculo y memoria.

Con la relación deformación-desplazamiento reescrita [Ec. (2)] y siguiendo el procedimiento estándar del método de elementos finitos, la ecuación que rige el movimiento ondulatorio en curvas de tuberías se puede escribir como4

donde U es el desplazamiento nodal, K1, K2 y K3 son las matrices de rigidez y M es la matriz de masa. Las matrices de rigidez y masa son todas reales y simétricas, excepto que K2 es antisimétrica. Sea \({\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}} = i{\mathbf{K}}_{{2}}^{{}}\), entonces \( {\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}}\) es simétrico conjugado. Por tanto, todas las matrices de la ecuación. (5) puede considerarse simétrico conjugado. La ecuación gobernante de la Ec. (5) puede considerarse como un problema de valores propios y reescribirse como

donde \(\lambda = \omega^{2}\) es el valor propio y \({{\varvec{\uppsi}}}\) es el vector propio, que también representa la estructura modal. Luego, las curvas de dispersión de número de onda-frecuencia y la estructura modal correspondiente se pueden calcular resolviendo este problema de valores propios.

El método NME se basa en una relación biortogonal y expresa el movimiento ondulatorio con modos de onda guiada ortogonales. La relación de biortogonalidad para modos normales en codos de tuberías se deriva en esta sección siguiendo el trabajo de la Ref.27, en la que se deduce la relación de biortogonalidad para una tubería recta.

La relación de biortogonalidad para los modos normales se deriva de la relación de reciprocidad compleja27, que establece que

donde V1, \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) y V2, \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) son los campos de velocidad y tensión de las partículas, respectivamente, de dos movimientos ondulatorios diferentes en una guía de ondas linealmente elástica, y el asterisco representa una conjugación compleja.

Sean \({\mathbf{V}}_{1}\), \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) y \({\mathbf{V}}_{2}\ ), \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) sean modos diferentes en un codo de tubería. En coordenadas casi cilíndricas, toman la forma de

donde k es el número de onda modal, y V y T son la velocidad de las partículas y los campos de tensión, respectivamente, sobre la sección transversal del codo de la tubería. Tenga en cuenta que aquí y en adelante, la dependencia armónica del tiempo \(e^{ - iwt}\) se omite por brevedad.

Combinando las ecuaciones. (7) y (8) dan

Integrando la ecuación. (9) sobre un corte en la curva de la tubería (el volumen ΔV en la Fig. 1) da

Al utilizar el teorema de divergencia de Gauss, la integral de volumen en el volumen ΔV se convierte en la integral de área sobre su superficie, es decir,

donde \(\partial S_{1}\) y \(\partial S_{2}\) son las superficies exterior e interior, respectivamente, del volumen ΔV, \(\partial S_{{z^{\prime}_ {1} }}\) y \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) son las secciones transversales del codo de la tubería en z′ posiciones de \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}\), respectivamente, \(\hat{e} _{z^{\prime}}\) es el vector unitario en la dirección z′, y \(\hat{n}\) es el vector unitario normal que apunta en dirección opuesta al volumen interior.

Para una curva de tubería libre, sus superficies interna y externa no experimentan tracción, por lo tanto, el primer término en el lado derecho de la ecuación. (11) desaparece. Además, porque el término \({\mathbf{V}}_{2}^{*} \cdot {\mathbf{T}}_{1} + {\mathbf{V}}_{1} \cdot { \mathbf{T}}_{2}^{*}\) es independiente de z′, sus integrales de área en \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} }}\) y \( \partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) son iguales. Por lo tanto, la ecuación. (11) se puede escribir como

Dejando \(\Delta z^{\prime} \to 0\), la ecuación. (12) todavía se mantiene y se convierte

dónde

La ecuación (14) indica que

La ecuación (15) es la relación de biortogonalidad para modos normales en curvas de tuberías.

En esta subsección, la relación de biortogonalidad de la ecuación. (15) se valida numéricamente investigando una tubería de acero inoxidable con un diámetro exterior de 22 mm, un espesor de 2 mm y un radio de curvatura de 50 mm. Las propiedades del material de la tubería de acero inoxidable se dan en la Tabla 1.

El movimiento ondulatorio en el codo de la tubería se deriva utilizando el método SAFE presentado en la sección “Modelado SEGURO del movimiento ondulatorio en los codos de la tubería”. El método SAFE se implementa con códigos Matlab. Primero se discretiza la sección transversal del codo de tubo con dos elementos en dirección radial y 48 elementos en dirección circunferencial. Resolviendo el problema de valores propios [Ec. (6)], se deriva la relación de dispersión para la curvatura de la tubería. Las curvas de dispersión de velocidad de grupo para la curva de la tubería se muestran en la Fig. 2a, y las de la tubería recta se muestran en la Fig. 2b. A modo de comparación, los modos en la curva de la tubería se indican como los de la tubería recta pero con la adición del subíndice C, como se muestra en la Fig. 2a. Como queda claro en la Fig. 2a, las características distintivas de las curvas de dispersión para el codo de la tubería son (i) las frecuencias de corte evidentes para los modos TC (0,1) y LC (0,1), (ii) la fenómenos de división de modos marcados con los marcos, y (iii) fenómenos de repulsión de modos marcados con los círculos. Tenga en cuenta que la Fig. 2a muestra solo los modos de propagación positiva, pero todos los modos, incluidos los de propagación negativa y los de no propagación, se investigan en la validación de la relación de biortogonalidad.

Curvas de dispersión de velocidades de grupo para (a) una tubería curva y (b) una tubería recta.

Se elige la frecuencia de excitación de 30 kHz para investigar la relación de biortogonalidad. Además, resolviendo la Ec. (6), se deduce la estructura modal (vector propio \({{\varvec{\uppsi}}}\)). La Figura 3 muestra la distribución de desplazamiento a lo largo de la dirección circunferencial para (a) \({\text{L}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (b) \({ \text{T}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (c) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {( 1,1)}_{1}\), (d) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(1,1)}_{2}\), (e ) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(2,1)}_{1}\), y (f) \({\text{F}}_{{ \text{C}}} {(2,1)}_{2}\) modos.

Distribuciones de desplazamiento a lo largo de la dirección circunferencial (las líneas azul continua, roja punteada y negra discontinua muestran los desplazamientos en las direcciones radial, circunferencial y axial, respectivamente).

El término \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) [Ec. (14)] en la relación de biortogonalidad es una integral sobre la sección transversal, que se puede calcular siguiendo el procedimiento de cálculo SAFE. Para cada elemento en la sección transversal, tenemos

donde el superíndice e denota el elemento y \({{\varvec{\uppsi}}}_{{}}^{e}\) es el vector de desplazamiento de los nodos en ese elemento. La integral en la ecuación. (16) se puede calcular numéricamente como una integral gaussiana. Luego, sumando las integrales de todos los elementos, se obtiene \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\).

Los valores \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) para los modos normales en el codo de tubería se calculan con las estructuras de modos normalizados \({\overline{\mathbf {\psi }}}_{k}\), que se define de la siguiente manera:

\({\mathbf{P}}_{k,k}\) es en realidad el doble del vector de Poynting, que se define como \({\mathbf{P}}{ = }\iint_{s} {{\text {Real}}\left( {{\mathbf{V}}_{{}}^{*} \cdot {\mathbf{T}}} \right)} \cdot \hat{e}_{z^{ \prime}} ds\) y denota la potencia promedio sobre la sección transversal. Por tanto, esta normalización es un proceso de normalización clásico realizado con respecto a la raíz cuadrada del vector de Poynting. Los valores de \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) para los diferentes modos son cero, validando así la relación de biortogonalidad.

Con la relación de biortogonalidad para codos de tubería derivada en la última sección, el modo incidente y todos los modos reflejados posibles se pueden expandir con los modos normales en codos de tubería en las interfaces. Al contrario, los modos transmitidos se pueden ampliar con los modos normales en tuberías rectas. Teniendo en cuenta el principio de continuidad del desplazamiento y la tensión, se puede establecer una matriz de transferencia entre coeficientes de dispersión. Luego, resolviendo la matriz de transferencia, se deducen las conversiones de modo en las interfaces.

Supongamos que una onda guiada excitada en la parte recta de una tubería se propaga a través de un codo de tubo, como se muestra en la Fig. 4. Para un codo de tubo, hay dos interfaces en la ruta de propagación, como lo marca \(z^{\prime }_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) en la Fig. 4. Se producen conversiones de modo complicadas en estas interfaces, dispersando diferentes modos de la onda guiada y causando una confusión significativa con las señales de prueba. .

Esquema de una onda guiada que viaja a través de una curva.

Para cada interfaz, los campos de desplazamiento y tensión sobre la sección transversal deben ser consistentes, es decir,

donde el subíndice i denota la i-ésima sección de la tubería que se muestra en la Fig. 4. Según el método NME, las estructuras de modos en las interfaces también se pueden expandir con modos normales en cualquier parte, es decir,

donde s y c denotan la tubería recta y la tubería curva, respectivamente, a y b son los coeficientes de expansión de los modos normales, y \({\overline{\mathbf{T}}}\) es la estructura del modo de tensión normalizada, que en el modelado SAFE se define como

Debido a que la relación desplazamiento-esfuerzo [Ec. (2) o (21)] es no lineal, los coeficientes de expansión de las estructuras en modo desplazamiento (an) son diferentes de los de las estructuras en modo tensión (bn). Sin embargo, bn se puede calcular según la relación desplazamiento-esfuerzo.

Con base en las relaciones de biortogonalidad tanto de tuberías rectas27 como de tuberías curvas, los coeficientes de expansión se calculan como

Tenga en cuenta que debido a que los modos normales son esencialmente las soluciones a la ecuación gobernante de los movimientos ondulatorios en guías de ondas, los modos normales no pueden satisfacer dos ecuaciones gobernantes diferentes para diferentes guías de ondas simultáneamente. Suponga que el campo de desplazamiento de la interfaz se expresa mediante modos normales en tuberías rectas y curvas de tuberías simultáneamente. Luego, el campo de tensiones de la interfaz se puede expresar mediante modos normales, ya sea en tuberías rectas o en curvas. Debido a que el campo de tensión se calcula de acuerdo con diferentes leyes de Hook (diferentes operadores L en la ecuación (2)), no se puede garantizar la continuidad del campo de tensión. Es decir, el principio de continuidad del campo de tensión y desplazamiento no se cumple en el marco NME. Sin embargo, el método NME aún revela las conexiones inherentes entre los modos en tuberías rectas y curvas de tubería, y brinda información valiosa sobre las conversiones de modo en curvas de tubería. Por lo tanto, se supone que el principio de continuidad del campo de tensión y desplazamiento se cumple en la siguiente derivación.

En la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), cada modo en la sección recta 1 también se puede expandir con modos normales en la sección curva 2, es decir,

Luego, combinando las Ecs. (19) y (24) y considerando el principio de continuidad de la ecuación. (18), obtenemos

La ecuación (26) da la relación entre los coeficientes de expansión como

que se puede expresar en forma matricial como

donde \({\mathbf{A}}_{m} = \left( {a_{c,1}^{t} ,a_{c,2}^{t} , \cdots } \right)\), \({\mathbf{A}}_{l} = \left( {a_{s,1}^{i} ,a_{s,2}^{i} , \cdots ,a_{s,1}^ {r} ,a_{s,2}^{r} , \cdots } \right)\), y \({\mathbf{G}}_{lm}\) es la matriz de transferencia definida como

En el cálculo se deben considerar todos los modos, incluidos los modos incidentes de propagación positiva, los modos de transmisión positiva, los modos reflectantes de propagación negativa y los modos no propagantes. Por lo tanto, se introducen los superíndices i, r y t para indicar los modos incidente, reflectante y transmisor, respectivamente.

Por el contrario, al expandir cada modo en la sección de tubería 2 con modos normales en la sección de tubería 1 y seguir el mismo procedimiento de derivación, tenemos

Combinando las ecuaciones. (29) y (30) dan

lo que implica que \({\mathbf{A}}_{l}\) es el vector propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime }\) con respecto al valor propio de uno. Así, resolviendo el problema propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\), los coeficientes de expansión \({\mathbf{A} }_{l}\) de ondas guiadas en la sección de tubería 1 se puede derivar, y \({\mathbf{A}}_{m}\) se puede calcular de acuerdo con la ecuación. (28).

En inspecciones prácticas, generalmente se excita un solo modo en la sección 1 de la tubería. Luego, estableciendo \(a_{s,1}^{i}\) en \({\mathbf{A}}_{l}\) a sea ​​uno y calculando \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{m}\), los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas guiadas que se propagan a través de la primera interfaz son derivado.

Considerando que el campo acústico en la sección recta o curva es lineal, la incidencia multimodo se puede tratar como múltiples incidencias monomodo, lo que se puede hacer calculando la dispersión de cada incidencia monomodo por separado y luego superponiendo linealmente estos campos acústicos de dispersión. .

Debido a que hay múltiples modos dispersos en la primera interfaz, se debe considerar la incidencia multimodo para la segunda interfaz. Como se mencionó anteriormente, la incidencia multimodo se considera como múltiples incidencias monomodo. Para cada modo de incidente j, tenemos

donde \({\mathbf{A}}_{n,j} = \left( {a_{s,1}^{t,j} ,a_{s,2}^{t,j} , \cdots } \right)\) son los coeficientes de expansión de los modos normales en la sección recta 3, y \({\mathbf{A}}_{m,j} = \left( {a_{c}^{i,j} ,a_ {c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) son aquellos en la sección curva 2. Además, resolviendo el problema propio de \({ \mathbf{G}}_{mn,j} {\mathbf{G}}_{mn,j} ^{\prime}\), los coeficientes de transmisión \({\mathbf{A}}_{n,j) }\) y coeficientes de reflexión \(\left( {a_{c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) del jésimo incidente Se deduce la dispersión del modo en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\).

Al superponer todos los campos acústicos de dispersión, se obtiene la dispersión en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\). Los coeficientes de reflexión y transmisión son

Los modos reflejados en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\) inciden negativamente en la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), forzando así los reflejos de esta última. Debido a que las reflexiones entre las interfaces \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) son bastante pequeñas en la mayoría de los casos, se desprecian por simplificación.

La combinación de los campos de dispersión de las interfaces \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) da los coeficientes de reflexión y transmisión (\({\mathbf{A }}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{n}\)) de ondas guiadas que viajan a través del codo de la tubería.

En esta sección, consideramos el ejemplo del modo longitudinal axisimétrico L(0,1) de baja frecuencia en una tubería de pequeño diámetro con una curva. El tubo de prueba es el mismo que el utilizado en la sección “Validación numérica para la relación de biortogonalidad”. Supongamos que el modo L(0,1) con una frecuencia de excitación de 30 kHz se excita en la parte recta y luego pasa a través del codo del tubo. Las estructuras modales tanto en la tubería recta como en la curva de la tubería se calculan utilizando el método SAFE presentado en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad".

Primero se investiga la dispersión en la interfaz \(z^{\prime}_{1}\). El modo incidente L(0,1) y todos los modos reflectantes posibles se expanden con los modos normalizados en el codo de la tubería de acuerdo con las relaciones de biortogonalidad [Ec. (14)], y luego se constituye la matriz de transferencia \({\mathbf{G}}_{lm}\). Teóricamente, los modos de reflexión y transmisión de no propagación deberían incluirse en el cálculo de \({\mathbf{G}}_{lm}\). Sin embargo, debido a que solo los modos de propagación son de interés en el escenario de prueba práctica, simplificamos el cálculo de \({\mathbf{G}}_{lm}\) ignorando los modos de no propagación. Los modos de entrada son el incidente L(0,1) y el reflectante L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1). ,1)2 modos. Los modos de transmisión de salida son los modos LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1)1 y FC(1,1)2. F(1,1)1 y F(1,1)2 son los mismos modos porque tienen el mismo número de onda. La diferencia entre ellos son sus orientaciones circunferenciales de los campos de desplazamiento, como se muestra en la Fig. 5; esto es lo mismo para F(2,1)1 y F(2,1)2.

Distribuciones de desplazamiento de (a) F(1,1)1 y (b) F(1,1)2 a lo largo de la dirección circunferencial (las líneas continua azul, punteada roja y punteada negra muestran los desplazamientos en las direcciones radial, circunferencial, y direcciones axiales, respectivamente).

Resolver el problema propio de \({\mathbf{G}}_{lm} {\mathbf{G}}_{lm} ^{\prime}\) da los coeficientes de reflexión y transmisión:

\({\mathbf{A}}_{l}\) es un vector propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\) correspondiente al valor propio de 0,2892 − 0,9633i, que debería ser uno en teoría.

Tomando los valores absolutos de \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{m}\) se obtiene

A partir de los coeficientes de reflexión y transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), concluimos lo siguiente: (i) ~ 10% del modo incidente L(0,1) se refleja, mientras que otros los reflejos son bastante pequeños; (ii) la mayor parte del modo L(0,1) incidente se convierte al modo LC(0,1), parte se convierte al modo FC(1,1)2 y todas las demás conversiones de modos son insignificantes.

Para la interfaz \(z^{\prime}_{2}\), hay tres modos de incidente. Para simplificar, se ignoran los modos con amplitudes pequeñas y, por lo tanto, aquí solo se consideran los modos dominantes LC(0,1) y FC(1,1)2. Al expandir los modos LC(0,1) y FC(1,1)2 con los modos normalizados en la sección recta 3 se obtienen las matrices de transferencia \({\mathbf{G}}_{mn,1}\) y \({ \mathbf{G}}_{mn,2}\). Los modos de entrada para LC(0,1) son LC(0,1) incidente y LC(0,1) reflectante, FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1) 1 y FC(1,1)2. Los modos de entrada para FC(1,1)2 son el FC(1,1)2 incidente y el LC(0,1) reflectante, FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1, Modos 1)1 y FC(1,1)2. Los modos de salida para ambos casos son los modos L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2.

Resolver los problemas propios de \({\mathbf{G}}_{mn,1}{\mathbf{G}}_{mn,1}^{\prime}\) y \({\mathbf{G}}_ {mn,2} {\mathbf{G}}_{mn,2}^{\prime}\) da los coeficientes de reflexión y transmisión para las incidencias LC(0,1) y FC(1,1)2:

que corresponden a los valores propios de 0,2847 − 0,9351i y 0,0519 + 0,9121i.

La combinación de estos campos de dispersión y los coeficientes de transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{1}\) da los coeficientes de reflexión y transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{2}\):

Por lo tanto, \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{n}\) dan los coeficientes de reflexión (\({\mathbf{A}}_{r }\)) y coeficientes de transmisión (\({\mathbf{A}}_{t}\)) del codo de tubería a una frecuencia de 30 kHz. Tomando los valores absolutos de \({\mathbf{A}}_{r}\) y \({\mathbf{A}}_{t}\) se obtiene

donde los coeficientes de reflexión corresponden a los modos reflectantes L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2, y los coeficientes de transmisión corresponden a los modos de transmisión L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2.

Los coeficientes de reflexión y transmisión muestran que para la incidencia unitaria L(0,1) normalizada, ~ 10% del modo L(0,1) se refleja y más del 100% se transmite, lo que significa que se cumple la ley de conservación de energía. está roto aquí. Esto sucede porque el principio de desplazamiento y consistencia de tensiones en las interfaces no se cumple en el marco NME.

Sin embargo, aunque los coeficientes de dispersión no son exactos, se revelan las conexiones inherentes entre los modos normales en tuberías rectas y curvas de tuberías, y las conversiones de modos principales en curvas de tuberías se predicen correctamente. En este caso, se puede concluir que la mayor parte del modo L(0,1) incidente pasa a través del codo de la tubería, parte se refleja y otra parte se convierte al modo FC(1,1)2.

La evolución de los coeficientes de dispersión de la incidencia de L(0,1) con respecto a la frecuencia se muestra en la Fig. 6. Como se muestra en la Fig. 6, la reflexión de curvatura de L(0,1) y la conversión de modo de L(0,1) ) a F(1,1) aumentan significativamente con la disminución de la frecuencia, lo que concuerda con los resultados experimentales informados en referencias anteriores. El coeficiente de transmisión L(0,1) es siempre mayor que 1 y se acerca a 1 con el aumento de la frecuencia.

Evolución de los coeficientes respecto a la frecuencia.

Para validar los resultados del estudio de caso en la sección "Estudio de caso", se realizaron simulaciones numéricas utilizando el software comercial de análisis de elementos finitos COMSOL Multiphysics 5.6. Las dimensiones y propiedades del material de la tubería de prueba fueron las dadas en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad". El tubo se dobló por su mitad en un ángulo de 90°. La Figura 7 muestra el modelado por elementos finitos de la tubería, la cual fue engranada con dos elementos en dirección radial y 48 elementos en dirección circunferencial. El espaciado axial de la malla se estableció en 2 mm, que se eligió de acuerdo con el criterio de malla de más de 20 nodos para la longitud de onda de interés más corta. El paso de tiempo se estableció en 1 µs según el criterio de \(\Delta t < 1/\left( {20f_{\max } } \right)\), donde fmax es la frecuencia máxima dentro de un ancho de banda de media potencia.

Modelado por elementos finitos de tubería de prueba.

Se aplicó una ráfaga de tono sinusoidal de cinco ciclos modulada con la función de ventana de Hann a una frecuencia de excitación de 30 kHz en la sección transversal de un extremo de la tubería en la dirección axial. Los puntos de vigilancia se colocaron en el otro extremo de la tubería, como se muestra en la Fig. 7. La Figura 8 muestra las trazas de tiempo del desplazamiento axial registrado en el punto de vigilancia que se ubica alineado con el intradós del codo (ver Fig. 7): ( a) es la traza temporal completa; (b) es la traza temporal de los modos axisimétricos (el modo L(0,1) en este caso) obtenida promediando el desplazamiento de todos los nodos de la superficie exterior en la sección transversal; (c) es la traza temporal del modo F(1,1) derivada de restar el desplazamiento del punto de vigilancia del de su contraparte simétrica.

Trazas temporales de desplazamiento axial registradas en el puesto de vigilancia.

La Figura 8 muestra que la señal grabada se descompone principalmente en formas de onda de los modos L(0,1) y F(1,1), lo que indica que no se producen otras conversiones de modo notables. En la Fig. 8b se observan importantes reflexiones de curvatura L (0,1). La relación de amplitud de la primera reflexión de curvatura [forma de onda 1 en la Fig. 8b] a la primera reflexión final [forma de onda 2 en la Fig. 8b] es ~ 0,2. De hecho, la primera reflexión en curva se compone de dos reflexiones en curva L(0,1) con diferentes rutas de propagación pero con el mismo tiempo de vuelo: una se propaga desde el extremo de excitación hasta la curva, se refleja de regreso al extremo de excitación y luego propagarse a través del codo hasta el extremo receptor; el otro primero se propaga a través del codo hasta el extremo receptor, gira hacia atrás al final y luego es reflejado por el codo del tubo. Por lo tanto, ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva. El modo F(1,1) convertido parece bastante pequeño en comparación con las reflexiones de curvatura L(0,1), lo cual es contrario a la predicción teórica de que una parte significativa del modo L(0,1) se convierte en el modo F( 1,1) modo. Esto se debe a que el modo F(1,1) tiene desplazamientos dominantes en las direcciones radial y circunferencial pero tiene un desplazamiento axial mucho menor (ver Fig. 5).

En resumen, los resultados de la simulación numérica concuerdan bien con las predicciones teóricas. Aunque los coeficientes de dispersión derivados teóricamente no son exactos, las conversiones del modo dominante se obtienen correctamente.

En esta sección, se estudia experimentalmente la dispersión del modo L(0,1) que viaja a través de una curva. El equipo experimental se muestra en la Fig. 9. El tubo de prueba fue el mismo que el utilizado en la sección “Validación numérica para la relación de biortogonalidad”; Este tubo de acero inoxidable se dobló por su mitad en un ángulo de 90° mediante curvado en caliente. Un generador de funciones arbitrarias (Rigol DG1022) generó una ráfaga de tonos de cinco ciclos de 30 kHz y posteriormente se amplificó mediante un amplificador de potencia de alto voltaje (Aigtek ATA-3080). Luego, la señal amplificada se envió al transductor transmisor para excitar las ondas guiadas longitudinales en la tubería. Las débiles señales de onda guiada fueron detectadas por el transductor receptor y fueron preamplificadas y filtradas de paso alto antes de ser adquiridas por el sistema de adquisición de datos (NI PXIe-1082).

Equipo experimental.

Los transductores transmisores y receptores se colocaron en el mismo extremo de la tubería. Se emplearon transductores de parche magnetoestrictivos. Cuatro tiras de aleación de hierro-cobalto premagnetizadas de 70 mm de largo, 5 mm de ancho y 0,15 mm de espesor se espaciaron equidistantemente alrededor de la circunferencia y se unieron longitudinalmente a la tubería con pegamento epoxi. Se enrolló una bobina de solenoide de 40 dedos sobre los parches para transmitir y recibir las señales.

La Figura 10 muestra los resultados experimentales. Las reflexiones de curvatura L(0,1) son evidentes en el medio entre dos reflexiones finales sucesivas, esto se debe a que la curvatura estaba ubicada en el medio de la tubería. También se observa F(1,1) convertido en modo, lo que puede confirmarse simplemente por su tiempo de vuelo. La diferencia de tiempo entre la reflexión final L(0,1) (forma de onda 1 en la Fig. 10) y su forma de onda sucesiva F(1,1) (forma de onda 2 en la Fig. 10) es ~ 0,33 ms. Para un viaje de ida y vuelta, el incidente L(0,1) recorre la curva dos veces (ida y vuelta) y, por tanto, la conversión de modo de L(0,1) a F(1,1) ocurre dos veces. La forma de onda 2 es el modo F(1,1) disperso cuando el modo L(0,1) se propaga hacia atrás. Según las curvas de dispersión (ver Fig. 2), la diferencia de tiempo teórica entre las formas de onda 1 y 2 es de 0,3 ms, lo que concuerda bien con el resultado experimental.

Inspección por onda guiada de tubería con codo.

La relación de amplitud de la primera reflexión de curvatura L(0,1) en la Fig. 10 a la primera reflexión final L(0,1) es ~ 0,2. En esta configuración experimental de pulso-eco, la primera reflexión de curvatura en la Fig. 10 es en realidad la segunda reflexión de curvatura, porque la primera reflexión de curvatura está enmascarada por el pulso inicial y no se puede distinguir. Por tanto, esta primera reflexión de curvatura L(0,1) también se compone de dos reflexiones de curvatura L(0,1). Por lo tanto, ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva.

En resumen, el resultado experimental es que los notables modos reflectantes L(0,1) y F(1,1) de modo convertido se dispersan en la curva y ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva. concuerda bien con las simulaciones numéricas, validando así las predicciones teóricas.

Aquí se estudió la dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de curvas de tuberías. Primero, se derivó la relación de biortogonalidad de los modos normales en curvas de tuberías. Luego, basándose en esa relación y considerando que los campos de desplazamiento y tensión en las interfaces entre las partes rectas y curvas de una tubería deberían ser consistentes, el problema de dispersión se consideró como un problema propio de una matriz de transferencia. Al resolver este problema propio, se dedujeron las conversiones de modo en las interfaces. La combinación de las conversiones de modo en dos interfaces de una curva proporcionó los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas guiadas que viajan a través de la curva. Se presentó un estudio de caso de una onda guiada longitudinal de baja frecuencia (el modo L(0,1)) que se propaga a través de una curva de tubería. Se realizaron más simulaciones numéricas y experimentos para validar las predicciones teóricas.

Debido a que los modos normales son esencialmente las soluciones a la ecuación que rige los movimientos ondulatorios en guías de ondas, los modos normales no pueden satisfacer dos ecuaciones gobernantes diferentes para diferentes guías de ondas simultáneamente, lo que indica que el principio de desplazamiento consistente y campos de tensión no se cumple en el marco NME. Para el caso de incidencia del modo L(0,1), la predicción teórica de que ~ 10% del modo incidente se refleja, más del 100% se transmite y una parte notable se convierte al modo F(1,1) es obviamente contrario a la ley de conservación de la energía. Sin embargo, la derivación basada en NME aún revela las conexiones inherentes entre los modos normales en tuberías rectas y curvas de tubería, y brinda información valiosa sobre las conversiones de modo en curvas de tubería. Mediante simulaciones numéricas y experimentos se demuestra que la reflexión L (0,1) y la conversión L (0,1) –F (1,1) son las conversiones de modo dominantes en este caso.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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Este trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (Subvenciones n.º 51709216).

Escuela de Arquitectura Naval, Ingeniería Oceánica y Energética, Universidad Tecnológica de Wuhan, Wuhan, 430063, China

Wenjun Wu, Hao Dong y Shangyu Zhang

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WW derivó las relaciones de biortogonalidad de los modos en las curvas de tuberías, estudió la conversión de modos en las curvas y fue uno de los principales contribuyentes en la redacción del manuscrito. HD realizó los experimentos. SZ realizó las simulaciones numéricas. Todos los autores leyeron y aprobaron el manuscrito final.

Correspondencia a Wenjun Wu, Hao Dong o Shangyu Zhang.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Wu, W., Dong, H. y Zhang, S. Dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de curvas de tuberías según la expansión en modo normal. Representante científico 12, 12488 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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Recibido: 15 de marzo de 2022

Aceptado: 14 de julio de 2022

Publicado: 21 de julio de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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